极值的方法与技巧求极值的方法与技巧
极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；
条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法
1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型
定理1(充分条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令
fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C
则f (x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下：
(1) ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值；
(2) ACB2<0时没有极值；
(3) ACB20时可能有极值 也可能没有极值。
极值的求法：
第一步 解方程组fx(x y)0 fy(x y)0 求得一切实数解 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步 定出ACB2的符号 按定理1的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：
⑴对于二元函数zf(x y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；
⑵ACB20时可能有极值 也可能没有极值，还需另作讨论；
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
